矩阵乘法

##官方定义

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有意义[1] 。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起,所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。(来自百度百科)

###定义
设A为 mp的矩阵,B为pn的矩阵,那么称mn的矩阵C为矩阵A与B的乘积,记作C=AB,其中矩阵C中的第 i 行第 j 列元素可以表示为:
表示
如下所示:
实例

###注意事项
当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,A与B可以相乘。

  1. 矩阵C的行数等于矩阵A的行数,C的列数等于B的列数。
  2. 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

##基本性质

  1. 乘法结合律: (AB)C=A(BC).
  2. 乘法左分配律:(A+B)C=AC+BC
  3. 乘法右分配律:C(A+B)=CA+CB
  4. 对数乘的结合性k(AB)=(kA)B=A(kB).
  5. 转置 (AB)^T=B^T*A^T.
  6. 矩阵乘法一般不满足交换律[3] 。
    ##Hadamard乘积

    mn矩阵 A=a[i,j] 与 mn 矩阵B=b[i,j] 的Hadamard积记为 AB 。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 (AB)i,j=a[i,j]*b[i,j] 的m×n矩阵 。例如,

例子

##Kronecker乘积

Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算,表示为 符号 。克罗内克积也成为直积或张量积 .以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。计算过程如下例所示:

例子

代码(比较伪):

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struct Matrix:vector<vector<int> >//使用标准容器vector做基类,需#include语句
{
Matrix(int x=0,int y=0,int z=0)//初始化,默认为0行0列空矩阵
{
assign(x,vector<int>(y,z));
}
int h_size()const//常量说明不可省,否则编译无法通过
{
return size();
}
int l_size()const
{
return empty()?0:front().size();//列数要考虑空矩阵的情况
}
Matrix pow(int k);//矩阵的k次幂,用快速幂实现,k为0时返回此矩阵的单位矩阵
};
Matrix operator*(const Matrix &m,const Matrix &n)//常量引用避免拷贝
{
if(m.l_size()!=n.h_size())return Matrix();//非法运算返回空矩阵
Matrix ans(m.h_size(),n.l_size());
for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)
for(int j=0; j!=ans.l_size(); ++j)
for(int k=0; k!=m.l_size(); ++k)
ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];
return ans;
}
Matrix Matrix::pow(int k)
{
if(k==0)
{
Matrix ans(h_size(),h_size());
for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)
ans[i][i]=1;
return ans;
}
if(k==2)return (*this)*(*this);
if(k%2)return pow(k-1)*(*this);
return pow(k/2).pow(2);
}

矩阵乘法noip还没有考过 但是十分实用
如斐波那契数列也可以用矩乘来做 希望大家掌握一下!!